בגרות 482 קיץ 2025 מועד א׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 28
בגרות 482 · קיץ 2025 מועד א׳ · שאלה 3
שיעור 28 – בגרות 482 קיץ 2025 מועד א׳ – שאלה 3
פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הערך של a
3סעיף ב – נקודות קיצון
4סעיף ג – סקיצה
5סעיף ד – שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ax + cos(2x) המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . a הוא פרמטר.
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = π4 הוא −1 .
א. מצא את הערך של a .
הצב a = 1 , וענה על הסעיפים ב–ד.
ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
דרך נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה f(x) העבירו אנך לציר ה־x .
ד. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי האנך, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y .
סעיף א – הערך של a
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה, ולכן קודם גוזרים. הנגזרת של ax היא a :
[cos(2x)]′ = −2sin(2x)
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
f′(x) = a − 2sin(2x)
נתון ששיפוע המשיק ב־x = π4 הוא −1 :
f′(π4) = −1
📐 משוואת משיק
נכתוב את הנגזרת:
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)
m = f′(x1)
סעיף א – הערך של a · המשך
נכתוב את הנגזרת:
f′(x) = a − 2sin(2 · x)
נציב x = π4 :
f′(π4) = a − 2sin(2 · π4)
f′(π4) = a − 2sin π2
sin π2 = 1
📐 ערך מיוחד
📐 ערך מיוחד
sin π2 = 1
סעיף א – הערך של a · המשך
sin π2 = 1
📐 ערך מיוחד
f′(π4) = a − 2 · 1 = a − 2
משווים ל־−1 :
a − 2 = −1
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
📐 ערך מיוחד
sin π2 = 1
סעיף ב – נקודות קיצון
מציבים a = 1 . הפונקציה והנגזרת שלה:
f(x) = x + cos(2x)
f′(x) = 1 − 2sin(2x)
בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:
1 − 2sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
−2sin(2x) = −1
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
−2sin(2x) = −1
sin(2x) = 12
הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 . כאן הזווית היא 2x :
2x = π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
2x = π − π6 + 2πk
2x = 5π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
2x = 5π6 + 2πk
מחלקים כל משוואה ב־2:
x = π12 + πk
x = 5π12 + πk
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ π . עבור k = 0 :
x = π12 , x = 5π12
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
x = π12 , x = 5π12
עבור k = 1 מקבלים π12 + π = 13π12 – גדול מ־π , ולכן אין פתרונות נוספים בתחום.
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שתי הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π24) = 1 − 2sin π12 ≈ 0.48 > 0
f′(π4) = 1 − 2sin π2 = −1 < 0
f′(π2) = 1 − 2sin π = 1 > 0
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
f′(π2) = 1 − 2sin π = 1 > 0
שיעורי ה־y – נכתוב את הפונקציה:
f(x) = x + cos(2 · x)
נציב x = 0 :
f(0) = 0 + cos(2 · 0) = 1
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
f(0) = 0 + cos(2 · 0) = 1
נציב x = π12 :
f(π12) = π12 + cos(2 · π12)
cos π6 = √32
📐 ערך מיוחד
f(π12) = π12 + √32 ≈ 1.13
נציב x = 5π12 :
📐 ערך מיוחד
cos π6 = √32
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
נציב x = 5π12 :
f(5π12) = 5π12 + cos(2 · 5π12)
cos 5π6 = −cos π6 = −√32
📐 זוויות שסכומן π
f(5π12) = 5π12 − √32 ≈ 0.44
נציב x = π :
f(π) = π + cos(2π)
📐 זוויות שסכומן π
cos(π − x) = −cos x
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
f(π) = π + cos(2π)
f(π) = π + 1 ≈ 4.14
✅ פתרון סופי:
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום (π12 , 1.13)
מינימום (5π12 , 0.44)
מקסימום קצה (π , 4.14)
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום (π12 , 1.13)
מינימום (5π12 , 0.44)
מקסימום קצה (π , 4.14)
סעיף ג – סקיצה
מסמנים את ארבע הנקודות ומחברים לפי הציר: עולה, יורדת ועולה שוב.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – שטח
האנך עובר דרך נקודת המינימום (5π12 , 0.44) , ולכן משוואתו x = 5π12 . השטח נמצא בין ציר ה־y (x = 0) לבין האנך.
בתחום 0 ≤ x ≤ 5π12 הגרף מעל ציר ה־x (הערך הנמוך ביותר שלו שם הוא 0.44), ולכן:
S = ∫05π12 (x + cos(2x)) dx
📐 שטח בין גרף לציר x
G(x) = x22 + 12sin(2x)
📐 פונקציה קדומה
S = G(5π12) − G(0)
נציב את הגבול העליון x = 5π12 :
📐 שטח בין גרף לציר x
מעל הציר: S = ∫ab f(x) dx
📐 פונקציה קדומה
∫x dx = x22 + C
∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C
∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C
סעיף ד – שטח · המשך
נציב את הגבול העליון x = 5π12 :
G(5π12) = (5π12)22 + 12sin(2 · 5π12)
G(5π12) = 25π2288 + 12sin 5π6
sin 5π6 = sin π6 = 12
📐 זוויות שסכומן π
G(5π12) = 25π2288 + 14
נציב את הגבול התחתון x = 0 :
📐 זוויות שסכומן π
sin(π − x) = sin x
סעיף ד – שטח · המשך
נציב את הגבול התחתון x = 0 :
G(0) = 022 + 12sin(2 · 0) = 0
S = 25π2288 + 14 − 0
S = 25π2288 + 14 ≈ 1.11
✅ פתרון סופי: S = 25π2288 + 14 ≈ 1.11
📌 סיכום התשובות
סעיף א
a = 1
סעיף ב
מינ. קצה (0 , 1)
מקס. (π12 , 1.13)
מינ. (5π12 , 0.44)
מקס. קצה (π , 4.14)
מקס. (π12 , 1.13)
מינ. (5π12 , 0.44)
מקס. קצה (π , 4.14)
סעיף ג
סקיצה
סעיף ד
S ≈ 1.11
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא